伽利略曾说：自然，这本大书只有掌握它的语言的人方能读懂，这语言就是数学。

图灵计算机人工智能之父

中国人常说“数学使人精密，历史使人明智！”二战的历史，在表面上是双方军队你死我活的对抗，但背后却深刻地隐藏着一只“看不见的手”。

1940年6月，二战扩大阶段。纳粹德国横扫欧洲后，准备对仅存的抵抗国英国发动最后的“海狮计划”，企图一举把西线战场清理干净。

于是，纳粹德国的飞机与潜艇一方面疯狂打击英国的运输线，一方面德国出动二千多架飞机夜以继日的轰炸英伦三岛。

丘吉尔这时发出激动人心的号召：“我们绝不屈服！我们将战斗到底！……直到新世界拿出它所有的一切力量来拯救并解放这个旧世界！”

英国首相丘吉尔

但是真正第一个给英国带来希望的，却是伟大的数学家图灵。

1939年图灵从美国回到英国，受到丘吉尔的委聘从事破解德国恩格玛密码的工作。

当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”(谜)，这个密码系统不断升级，而且设计精妙，极难破译。

当时在英国情报机构中，有成千上万的人在从事拦截和破译德国人秘密通信的工作。可是因为每天都能拦截到大量的通讯信息，而每条信息都有无数种可能的密钥，依靠人工根本就来不及破译。

图灵的工作地

但天才图灵却解决了这个问题，他相信这其间一定是有一个逻辑学规律所存在。他把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔，运用图灵的可计算理论，图灵发明了世界上第一台手摇计算机，使得整个运算过程提高了一百多倍。

他设计的一架破译机“Ultra”(超越)专门对付“Enigma”，到了终于在1941年初夏破译了德国的密码。

虽然之后德国的密码也不断升级，但是每一次升级都能被图灵计算机破译。

从此，德国人的行动就犹如鱼缸里的鱼一样，无论你怎么游，都被人看得清清楚楚。

正是那些意想不到的人，做出了意料之外的事

由于图灵破译了德国密码，明面上就带了两个胜利。

1941年德国“俾斯麦“战列舰出击大西洋，如果“俾斯麦”号这种4万吨强大战列舰，一旦驶入大西洋，将对盟军运输线是致命打击。但是“俾斯麦”号一出港，情报就被英国人知道。皇家海军对其一顿围殴，虽经过艰难的战斗，但“俾斯麦号”战列舰终究在处女航就被击沉。

到了1942年，英国商船的被击沉率一度下降至75%，德国人又升级密码系统，击沉率马上就提高。图灵又开始破译，一破译被击沉率马上就下降。这就形成了一条斗智斗勇的击损曲线，使得大英帝国的大西洋生命线得以维持。

《模仿游戏》的剧照

丘吉尔说：“这场战场，我们是捏着敌人的脉搏在打，他们干什么我们都知道”。从此为使德国人不知道英国破解密码一事，丘吉尔开始了装傻充楞的时候。

比如能够炸沉敌人九艘船，就只击沉七艘，让你回去两艘。 有时明明是密码获得德国商船的行动信息，却故意先派侦察机去跑一趟，假装是偶然的侦察发现。诸如此类。

而这正是数学家图灵以一臂之力挽救了大英帝国，历史学家称图灵以一已之力使战争提前两年结束。

然而更伟大的是，同时他也开创了人类的计算机时代。

也正如《模仿游戏》片中那句经典的话：“有时候正是那些意想不到的人，做出了意料之外的事。”

1941年——1942年，太平洋战争爆发，日军在太平洋战争中的疯狂进攻，导致美国太平洋舰队的损失惨重，急需加强防空能力。

在1942年，美军被日军击沉的航母如“兰利号”“列克星顿”号、约克城号、大黄蜂号等就有10艘航母！

据统计，当时美军舰载防空火炮而使用常规炮弹时，即2000多发，才能击中一架敌机。这样的防空效率使得美国海军心急如焚！

然而，这件事情到了1943年突然柳暗花明。

1943年1月5日，在瓜达卡纳尔岛战役后期，一架日本轰炸机发现了美军轻型巡洋舰“海伦娜”号在此巡逻。飞行员心中窃喜，这么缺乏空中掩护的一艘孤舰，不说轻松击沉它，随便给他几颗炸弹也够它消受得了。

然而，没想到的是，还没接近军舰，舰上127毫米火炮就开始猛烈开火，按照往常的经验，毕竟舰炮对飞机的命中率是很低的，日军飞机员仍然猛扑“海伦娜”号。

可是，突然飞机旁突然冒出许多的桃花般烟雾。随之飞机一下巨震，日军飞行员到死都不明白他的是怎么这么快就被打下来了。

这就是历史上第一个VT引信炸弹的战斗实例。

自从无线电近炸引信即VT信管问世以后，击落每架敌机平均只需要500发炮弹，命中率是之前的四倍。

VT杀伤示意图

原来，针对此问题，美军组织了大量的数学与物理学家进行研究。最后，终于在1942年底研制成功近炸引信炮弹，这种炮弹在接收信号方面非常准确。数学家对测控距离与爆炸覆盖上的精确计算，使VT信管炸弹测量到离目标还有21米的左右时，就会自动引爆，而爆炸的覆盖面积达到278.7平方米。

VT信管的发明，革命性的提高了军舰的防空效率。

挫败神风敢死队

正是由于这个伟大的设计，使得日军疯狂神风敢死队战术最后破产。

在冲绳岛战役中，日军发动了十次“菊水”特攻，动用近4000架飞机。但最后然并卵，给美军造成的损失击沉率仅2.9%。

不难想象，如果这种VT引信炸弹没有出现时，日军就发动神风特攻，那给美国海军的损失将是致命性的。

这就是数学家第一次在武器设计中的展现惊人的力量。

冲绳岛战役日本的神风敢死队造成的军舰损伤

VT进入欧洲战场

到了在1944年底，德军在突出部战役中突袭盟军。至12月8日的恶劣天气中，为了挽救包围中的101空降师，美军在欧洲战场第一次使用了VT引信的火炮。

德军以为按常识只要躲在战壕与散兵坑里就会安全，然而VT引信火炮打破了战场规则，他在离地面7-15米的距离爆炸，炸弹的碎片伴随强大的冲击波。大量德军在战壕中毫无防备地被炸死。

按事后估计，炮火的威力增加了约七倍， 巴顿将军当时称，这种引信将改变战争的方法。

这也成为美军在二战中的三大杀器之一。

在1942年6月的中途岛战役前，太平洋战场的形势极为严峻。

日本通过购买德国“恩格玛”密码机，也掌握了现代密码技术。日本海军据此又创建了“舰队密码体制”，这套密码也称做“海军暗号书D”密本，称之为“JN 25b”密码。是高级司令部才能使用的战略级密码。这种密码系统的主密码，由4.5万个五位数的数码组所组成。

而且，日军的密码体系还不断地升级，在当时复杂的“JN 25b”面前，美国情报处一筹莫展。

但是，加利福尼亚大学数学系的罗彻福特向太平洋舰队的司令尼米兹保证：“太平洋舰队永远不会缺少情报！”

罗彻福特和他的部下——数十名电台监听员、密码破译员、翻译和情报分析员，在警卫森严的珍珠港第14海军军区司令部大楼的地下室里夜以继日地工作，他们的工作环境几乎与世隔绝，更谈不上享受珍珠港迷人的阳光。每周工作时间高达八九十小时，日本海军90%的电讯往来都被他们所截获。

作为破译小组与尼米兹的联络人，霍姆斯海军少校这样评价他们：“你绝对无法相信，有人能在如此繁重的脑力劳动，如此巨大的工作压力下，坚持工作如此持久的时间！”

虽然，美国海军情报部门截获的大量日本海军的电报往来，显示日本海军似乎要有大的动作，可是就因为密码无法破译，根本搞不懂日本人究竟要干什么。

但就在5月20日，中途岛战役前十五天，罗彻福特日以继夜的工作终于获得了回报，他破译日本联合舰队司令山本五十六下发给各部队的长篇电文，掌握了日军中途岛的作战计划。

情报天才罗彻福特

只是在计划中，关于进攻的目标日军始终用一个代号“AF”。经过各方面的推测和分析，罗彻福特断定：“AF”是太平洋中中途岛的代号，并且很快美军就通过一次试探证实了他的推断。

1942年6月4日，由于事前掌握了日军的动向，美军在中途岛海战中一举击沉日军四艘航母，大获全胜，此战成为太平洋战争的重要转折点。

到了1943年4月14日，日本人发出一份绝密电报。然而，经过紧张的工作，罗彻福特小组成功地破译出这是山本五十六外出视察的日程安排，美军当机立断派出战斗机群前往拦截山本的座机。

1943年4月18日，山本大将的座机被击落，山本五十六机毁人亡。

1943年，盟军的生命线大西洋运输线处于在二战高峰期，运往英国、苏联、中国等国的物资都需要源源不断地经过大西洋，但大西洋运输线形势更为紧迫。

为打击盟军的大西线运输线，1942年上任的德国邓尼兹元帅，下令发动德国潜艇部队的“狼群战术”。

德国海军元帅邓尼兹

1942年，德国“狼群”达到了击沉盟国商船的最高峰。全年共击沉商船1160艘，总吨位达630万吨，相当于击沉万吨级轮船达到了630多艘，而自己的损失率却不到7%。

在初期，盟军尚没有更切实办法大西洋海战的胜利之时，只有聘请数学家来帮助。

1943年3月，为对德国在大西洋的潜艇实现更加有效的攻击，美国海军成立了由数学及物理学家莫尔斯领导的跨学科小组。

莫尔斯的小组通过对潜艇的搜索研究发现，飞机一般在潜艇上浮的时候对其实施攻击，这时潜艇深度约为三十英尺，而美军的深水炸弹的爆炸深度至少为七十五英尺，杀伤范围二十英尺左右，这样攻击就对德国潜艇威胁有限。

根据这一情况，莫尔斯小组议对深水炸弹作技术改进，使其在水深三十英尺上下爆炸。

仅此一项措施，使对潜艇的击沉率增加了六倍。

大西洋海战

但是，德国潜艇开始铤而走险，改变战术，不再在飞机航程的近海袭击，转而进入黑暗地带，也就是飞机航程达不到的护航路段中进行攻击。

这一下，盟军商船的击沉率又开始高启，不得已。

美国海军将领请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇可能相遇，也可能不相遇，是一个随机事件，它具有一定的规律。

一定数量的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要有5个编次);编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学后都回自己家里，老师要找1位同学的话，随便去哪家就行。但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。

美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果，使原来被击沉的概率降低了20%，又大大减少了损失。

直到1943年底，盟军采纳声纳、护航航母、雷达、密码破译等数项技术打击德国潜艇时，邓尼兹的“狼群”战术才宣告破产，盟军的大西洋海战才终告胜利。

而在最危险的时刻，是数学家帮盟军运输线渡过了最黑暗的时候。

长达五年的轰炸作战——对德千机大轰炸

1944年，盟军大西洋海战的胜利，使得盟军建立登陆诺曼底的时机显得相对成熟，但在欧洲大陆夺得空中优势，则显得尤为重要。

从1942年起，英美盟军对欧洲战场展开了大规模战略轰炸，每天都有成千架轰炸机呼啸而去，返回时往往损失惨重。在1944年之前没有超大航程的P51野马战机护航的情况下，B-17、B-25超级空中堡垒的飞行员执行任务时达到了10-20%以上的战损率。

在此期间，至少有为此8万多名盟军飞行员殉职沙场。虽然对德国空军的消耗是巨大的，但是在战略轰炸效果却不佳。

B-25轰炸机

美国陆军航空队决心解决这个问题。

看到飞回来的飞机一身的弹孔，通常情况下，都是哪里有弹孔就补哪里？那就要往飞机上加焊钢板呗；可是如果整个飞机都焊上钢板，那航速、航程、载弹量就无从谈起。

正在一筹莫展之时。

空军请来著名的数学家亚伯拉罕·沃尔德。沃尔德的方法十分简单。他把统计表发给地勤技师，让他们把飞机上弹洞的位置报上来，然后自己铺开一张大白纸，画出飞机的轮廓，再把那些小窟窿一个个添上去。

画完之后大家一看，飞回来的飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座舱和尾翼两个地方几乎是空白。

沃尔德告诉大家，从数学的观点来看，这张图明显不符合概率分布的规律，而明显违反规律的地方，往往就是问题的关键。

航空队一看就明白了。

能够飞回来的飞机都是没有被击中要害的飞机。虽然机身机翼上都有许多弹痕，这是无关紧要的，只要补好的就行。

但是如果座舱中弹，飞行员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡一般会坠落，所以，这两处中弹的轰炸机就回不来了，难怪统计数据是一片空白。

因此，结论很简单：只需要给这两个部位焊上钢板就行了。

从此，盟军的战略轰炸部队就有了更高的安全系数，飞行员的战损比大幅下降。直到1944年初，P51D野马战机开始护航，盟军空军最终赢得欧洲的天空，从而为著名的诺曼底登陆打下坚实的基础。

然而正是沃尔德等人的帮助，盟军在那段最艰难的时刻，用“看不见的手”沉重打击了德国空军。

但是问题又来了，要有效轰炸德国的战争机器应当如何着手，因为德国的战争生产机器庞大，许多还分布在捷克、罗马尼亚等各个国家。炸坦克、还是炸飞机、炸大炮、炸枪械、还是卡车或是高射炮、油库、油田？

很明显，轰炸面太广将降低有效的打击力度。

而且，德国的战争工业在纳粹军需部长施佩尔的领导下，又进行了分散工厂、集中组装、有效防空的积极防御措施。在1944年对德国的轰炸达到了最高峰，但德国的生产量也达到了最高峰。

这时，怎么轰炸德国的战争机器就成了一个必须从速解决的问题。

美国战争部居然请了批大学的数学分析家，其中就有诺贝尔奖获得者列昂惕夫，研究怎样轰炸哪个地方更能消灭德国的战争潜力。

列昂惕夫用投入产出分析法分析，有没有可能在德国庞大的工业体系中发现某种连接各部分的关键点，只要找出这个关键点以消灭，工业体系就将陷入彼此割裂的状态呢？

诺贝尔经济学奖获得者列昂惕夫以投入产出分析法给出了答案。他从国民经济是一个有机整体的观点出发，综合研究各个具体部门之间的数量关系，以矩形统计图的形式把经济体系的各个部门的生产和消费量联结起来。

在这个统计图中，总是有着一些关键性要素在其中起着联结作用，一旦数值发生改变，将引起其他数值的相应变化。

B-24战略轰炸

列昂惕夫帮助下，盟军终于惊喜地发现，一个看起来不起眼的工业部门，实际上却是整个德国战争机器的重大系统的关键所在，那就是滚珠轴承厂。滚珠轴承是使战争机器正常运转的润滑剂，几乎没有什么重要兵器离开了滚珠轴承还能正常运作的。

轴承是几乎所有重武器都需要的核心零件，大炮轮子需要轴承，坦克需要轴承、卡车需要轴承、飞机、高射炮、机关枪也需要轴承。

而且，德国的轴承工业高度集中，一座名为施魏因富特的小城就是德国的轴承生产中心。

所以，盟军的战略轰炸部队就开始集中轰炸施魏因福特的滚珠轴承厂。

就这样，德国的战争机器到了45年初开始接近枯竭。

到了战争后期，你可以看到德军的军火设施的运输大部分需要依靠大批马匹、人力来维持。大部分重武器只能将之前的进行维修再利用，因为轴承厂的供应已经断绝。

这时，纳粹德国丧钟已经敲响，欧洲战场胜利在望。

1944年，日本法西斯也进入了最后的灭亡倒计时，为了困死日本。盟军需要对日本岛的各港口进行水面打击，以消灭日军海军的抵抗武器。

然而，日军港口已经布好了密密麻麻的水雷网，并配有良好的防空设施，只留下了军舰出入的秘密通道。

如何让美军潜入日军军港打击日本的运输和战争能力，成为考验盟军的一个难题。

这时，纽约州立大学的韦弗教授接到请求，希望确定攻击日本大型军舰时水雷布阵的类型。但是美国海军对日本大型舰只的航速和转弯能力一无所知。

幸好，海军当局有许多这些军舰航行的照片。当把问题提到纽约州立大学韦弗的应用数学组时，马上有人提供了一个资料：数学家凯尔文曾研究过当船以常速直线前进时，激起的水波沿着船只前进的方向形成一个扇面，船边的角边缘的半角为19度28分，其速度可以由船首处两波尖顶的间隔计算出来。

韦弗教授根据这个公式测算出了日舰的航速和转弯能力。

这个计算带来了立竿见影的效果。

使美军潜艇可以有效避开日军的鱼雷网，深入到日本军港内发动袭击。

日本刚建造的世界最大的航母“信浓”号，刚下水仅仅航行了17个小时，就被潜入港口的美国潜艇“射水鱼”号击沉。

到了1945年，日本岛已经没有一个港口是安全的，被美军潜艇与海军部队围困得如铁桶一般，简直就是一个死岛。

日本法西斯进入了垂死挣扎的最后阶段。

制造原子弹的曼哈顿计划正在紧张进行中，有个非常重要的事情要做，就是计算原子弹的爆炸半径。不然，在广岛上空扔原子弹的飞机就可能被自己扔的弹弹炸伤。

那么该怎么计算爆炸半径呢？

科学家从这些实验中总结出3个对爆炸半径有主要影响的参数：

第一、 时间：爆炸后时间越长，爆炸形成的火球传播得越远；

第二、 能量：增加爆炸的能量，火球的半径会增大；

第三、 空气密度：这可能并不是特别显然，实际上空气密度变大会使火球半径减少。如果

你将空气的密度想象成空气的“厚度”，那么空气密度越大，空气越“厚”，它会阻碍火球的传播，因此传播了更短的距离后火球就停止前进了。
显然，时间t，能量E，与密度ρ之间的具体关系是未知的。若要得到精确的结果，需要大量的数据，这意味着需要大量的实验，而这显然是不可能的！

这个时候，伟大的数学家泰勒登场了，他主攻的领域是流体动力学，该领域研究的是液体，气体，以及某些具有流体特性的固体（例如冰块）的运动。听闻美国要做如此危险的实验时，他立即出手解决这个问题。

爱德华·泰勒

他使用了一个巧妙的方法——量纲分析法！（具体的计算过程与方法略去）。

泰勒假设原子弹爆炸是一个球体，考虑时间、能量半径、空气密度这些物理量，并假设它们之间存在一个正比关系，引入一个常数A , 通过待定系数法得出了一个明确的计算公式。

这样，原子弹的爆炸半径等要素就得到了良好的控制。

同时，被誉为“现代计算机之父”的冯·诺伊曼参与了曼哈顿计划，为第一颗原子弹的研发作出了数学贡献。

冯·诺伊曼参与的是钚弹研究，引爆钚，用烈性炸弹包在像柚子般大小的钚周围，仔细排列这些炸药，使爆炸时的冲击波把钚挤压到发生链式爆炸反应的程度。

由于铀弹要提炼出很多的铀235，这在短时间内是难以做到。而钚弹的主要问题是怎样仔细排列炸药才能产生效果最佳的冲击波？

冯·诺伊曼,计算机之父

这是一道极其复杂的数学难题。1943年9月，冯·诺伊曼受奥本海默之邀参与曼哈顿工程的这一研究。

最终，冯·诺伊曼找到了解决这一关键问题的办法：把100份不同种类的炸药错综排列，通过爆炸的合力产生效果最佳的冲击波。冯依曼的计算非常精确，使得钚弹所用的烈性炸药排布极其均匀，而且在钚壳的每一边都达到精密的平衡，使得钚弹的研制突破了瓶颈。

而这一枚核弹，就是扔到日本长崎的代号为“胖子”的原子弹。“胖子”的爆炸当量明显还超过了投到广岛的“小男孩”原子弹，只是因为长崎三面环山，所以长崎的损失表面上看要小一些。

1945年8月9日，“胖子”这个凝聚无数科学家心血的武器扔到了长崎。

8月15日，日本宣布无条件投降！

这时候，最适合用丘吉尔在下议院演讲名言来说明：“在人类战争的领域里，从来没有过这么少的人对这么多的人作出过这么大的贡献。”

总结：

二战，这场人类的浩劫终于结束。然而，数学家在此做出的杰出贡献却开创了一个新的时代。随之而来的计算机时代，人工智能，太空时代都由此翻开了新的一页。

从这段历史来看，如果，我们今天能够对于数学有更多的了解，那么，我们的社会会不会更加重视数学等基础学科，我们的未来是不是会更加美好呢？